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Somma di Borel

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  Nella matematica, la somma di Borel è una generalizzazione della somma di una serie, per attribuire un valore anche quando quest'ultima non converge. Come suggerisce il nome, la somma è stato introdotta da Émile Borel nel 1899Borel, E. (1899), "Mémoire sur les séries divergentes", Ann. Sci. École Norm. Sup. (3), 16: 9–131. È particolarmente utile per sommare serie asintoticamente divergenti, e in un certo senso fornisce la migliore somma possibile per tale serie. Ci sono molte varianti di questo metodo che vengono chiamate somma di Borel, e una sua generalizzazione è la somma di Mittag-Leffler.

Definizione

Ci sono (almeno) tre definizioni leggermente diverse chiamate somma di Borel che differiscono per le serie che possono sommare. Tuttavia le somme sono consistenti, cioè se due metodi possono sommare la stessa serie allora danno lo stesso valore.
Sia A(z) una serie formale di potenze
A(z) = \sum_{k = 0^\infty a_kz^k,
e si definisce la trasformata di Borel di A come la sua equivalente serie esponenziale
\mathcal{BA(t) \equiv \sum_{k=0^\infty \frac{a_k{k!t^k.

Somma debole di Borel

Sia A_n(z) la somma parziale
A_n(z) = \sum_{k=0^n a_k z^k.
La somma debole di Borel di A si definisce come
\lim_{t\rightarrow\infty e^{-t\sum_{n=0^\infty \frac{t^n{n!A_n(z).
Se questo limite converge in z\in\mathbb{C a qualche a(z), allora la somma debole di Borel di A converge in z e si scrive {\textstyle \sum a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB) .

Somma integrale di Borel

Supposto che la trasformata di Borel converge per ogni numero reale ad una funzione che cresce abbastanza lentamente in modo che il seguente integrale è ben definito (in modo improprio), la somma di Borel di A è data da
\int_0^\infty e^{-t \mathcal{BA(tz) \, dt.
Se l'integrale converge in z\in \mathbb{C a qualche a(z), allora la somma di Borel di A converge in z e si scrive {\textstyle \sum a_kz^k = a(z) \,(\boldsymbol B) .

Somma integrale di Borel con prolungamento analitico

Questo è simile al metodo di somma precedente, eccetto che non serve che la trasformata di Borel converga per ogni t, ma che converga ad una funzione analitica di t vicino a 0 che può essere prolungata analiticamente a tutto l'asse reale positivo.

Proprietà fondamentali

Regolarità

I metodi (B) e (wB) sono entrambi sono entrambi somme regolari, cioè che se A(z) converge nel senso standard, allora anche le due somme di Borel convergono, e inoltre allo stesso valore.
\sum_{k=0^\infty a_k z^k = A(z) < \infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum a_kz^k = A(z) \,\, (\boldsymbol{B,\,\boldsymbol{wB).
La regolarità di (B) si vede facilmente dalla definizione del fattoriale con la funzione Gamma e dallo scambio fra sommatoria e integrale, che è possibile grazie all'assoluta convergenza della serie: Se A(z) converge in z, allora
A(z) = \sum_{k=0^\infty a_k z^k = \sum_{k=0^\infty a_k \left( \int_{0^\infty e^{-tt^k dt \right) \frac{z^k{k! = \int_{0^\infty e^{-t \sum_{k=0^\infty a_k \frac{(tz)^k{k!dt,
dove l'espressione a destra è proprio la somma di Borel in z.
La regolarità di (B) e (wB) implica che questi metodi di somma forniscono una estensione analitica a A(z).

Non equivalenza delle due somme di Borel

Ogni serie A(z) che è sommabile debolmente secondo Borel in z\in \mathbb{C è anche sommabile secondo Borel. Tuttavia, si può costruire degli esempi di serie che non sono sommabili debolmente ma che lo sono secondo Borel. Il seguente teorema caratterizza l'equivalenza dei due metodi di somma.
Teorema ((Hardy 1992, 8.5)).

Sia A(z) una serie formale di potenze e z\in \mathbb{C fissato, allora:
# Se {\textstyle \sum a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB) , allora {\textstyle \suma_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{B).
# Se {\textstyle \sum a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{B) , e inoltre \lim_{t \rightarrow \infty e^{-t\mathcal B A(zt) = 0, allora {\textstyle \sum a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB) .

Relazioni con altri metodi di somma

  • (B) è il caso speciale della somma di Mittag-Leffler con \alpha=1.
  • (wB) può essere visto come il caso limite della somma di Eulero generalizzata (E,q), nel senso che se q\to\infty il dominio della convergenza della somma (E,q) converge al dominio della somma (B).Hardy, Godfrey Harold (1992) 1949, Divergent Series, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8218-2649-2, MR https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0030620 0030620

Teoremi di unicità


Ci sono sempre molte funzioni differenti con una data espansione asintotica. Tuttavia, c'è qualche volta una migliore funzione possibile, nel senso che gli errori nella approssimazioni in dimensione finita sono i più piccoli possibili. Il teorema di Watson e il teorema di Carleman mostrano che la somma di Borel produce la migliore somma possibile della serie.

Teorema di Watson


Il teorema di Watson dà delle condizioni per cui una funzione è la somma di Borel della sua espansione asintotica. Supposta f una funzione soddisfacente le seguenti condizioni:
  • f è olomorfa in qualche regione z
 
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