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Dimostrazione della divergenza della serie dei reciproci dei primi

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  Uno dei primi teoremi della teoria dei numeri dimostrato in modo analitico è la divergenza della serie dei reciproci dei numeri primi, cioè
\lim_{x \rightarrow \infty \sum_{p \leq x \frac{1{p=\infty,
dove la variabile p indica un numero primo.

Dimostrazione (Eulero)

Per la dimostrazione è necessario un lemma riguardante la serie armonica.
Dalla definizione del numero di Nepero si ricava immediatamente che
\left(1+\frac{1{n\right)^n \sum_{n \leq x\frac{1{n
e dalla disuguaglianza ricavata sulla serie armonica si ricava
P\left(x\right) > \ln\left(x+1\right).
Adesso sapendo che y > -\frac12\ln\left(1-y\right) per ogni 0 -\frac12\sum_{p \leq x \ln\left(1-\frac{1{p\right)= \frac12\ln P\left(x\right)>\frac12\ln\ln x, dove l'ultimo membro diverge per x tendente a infinito, quindi la serie dei reciproci dei numeri primi diverge. \square

Seconda dimostrazione (Eulero)

Eulero fornì anche un'altra dimostrazione, partendo sempre dalla serie armonica. Usando l'espansione di questa come prodotto infinito scrisse:
S=\ln \left( \sum_{n=1^\infty \frac{1{n\right) = \ln \left( \prod_{p \frac{1{1-p^{-1\right) =
\sum_{p \ln \left( \frac{1{1-p^{-1\right)= \sum_{p - \ln\left(1-\frac{1{p\right),
usando le proprietà dei logaritmi; quindi espanse la somma come la serie di Taylor di \ln(1-x):
S= \sum_{p \left( \frac{1{p + \frac{1{2p^2 + \frac{1{3p^3 + \cdots \right) = \left( \sum_{p\frac{1{p \right) + \sum_{p \frac{1{p^2 \left( \frac{1{2 + \frac{1{3p + \frac{1{4p^2 + \cdots \right).
I termini 1/3p, 1/4p2 possono essere maggiorati come:
S< \left( \sum_{p\frac{1{p \right) + \sum_{p \frac{1{p^2 \left( 1 + \frac{1{p + \frac{1{p^2 + \cdots \right) = \left( \sum_{p \frac{1{p \right) + \left( \sum_{p \frac{1{p(p-1) \right).
Il secondo addendo converge perché è minore della corrispondente serie in cui gli addendi sono presi tra tutti i naturali anziché solo tra i primi; quindi
SP e troviamo
N < 2^k (2^{k+1)+2^{2k+1=N
che è assurdo e conclude la dimostrazione.

Note


Voci correlate

  • Serie armonica
  • Teoremi di Mertens
  • Teorema dei numeri primi

Categoria:Dimostrazioni matematiche
Categoria:Teoria dei numeri
 
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