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Tavola dei gruppi piccoli

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  Viene qui presentata una tavola dedicata ai gruppi finiti di ordine piccolo, cioè di cardinalità contenuta. Vengono elencati tutti i gruppi con al più 18 elementi.
Tavole di questo tipo, oltre a fornire numerosi esempi, sono anche utili per capire "che tipo di gruppo è" un gruppo dato (cioè, più formalmente, a quale di questi è isomorfo). Infatti in molti casi alcune semplici informazioni facilmente calcolabili, come la cardinalità e il fatto che sia abeliano o meno, sono sufficienti a determinare il gruppo dato.

Notazioni usate

  • Cn: gruppo ciclico di ordine n, si assume come convenzione che Cn= { e, a, a2, a3, a4, a5,..., an-1 .
  • Dn: gruppo diedrale di ordine 2n: Dn=\langle r, s \mid r^{n = 1, s^2 = 1, srs = r^{-1 \rangle
  • Sn: gruppo simmetrico di grado n, costituito dalle n! permutazioni di n oggetti.
  • An: gruppo alternante di grado n, costituito dalle n!/2 permutazioni pari degli n oggetti.
  • Dicn: gruppo diciclico di ordine 4n.
  • e: elemento neutro del gruppo.
  • : sottogruppo ciclico generato dall'elemento a.
La notazione G × H denota il prodotto diretto dei due gruppi G ed H. I gruppi abeliani e i gruppi semplici vengono segnalati. (Per i gruppi di ordine n < 60, i gruppi semplici sono precisamente i gruppi ciclici Cn, per n numero primo.) Per denotare la relazione di isomorfismo tra gruppi usiamo il segno di uguaglianza "=".
Nei grafi dei cicli dei gruppi l'elemento identità è raffigurato da un cerchietto nero.

Tavola

{
-
! Ordine !! Gruppo !! Proprietà !! Sottogruppi normali !! Sottogruppi massimali Grafo dei cicli
-
! 1
Gruppo banale = C1 = S1 = A2
abeliano
C1 = S1 = A2
center
-
! 2
C2 = S2
abeliano, semplice, il più piccolo gruppo non banale
{e, C2 = S2
{e
center
-
! 3
C3 = A3
abeliano, semplice
{e, C3 = A3
{e
center
-
! rowspan="2" 4
C4
abeliano 
{e, , C4
center
-
Gruppo di Klein = C2 × C2 = D2
abeliano, il più piccolo gruppo non ciclico
{e, , , , Dic1
, ,
center
-
! 5
C5
abeliano, semplice
{e, C5
{e
center
-
! rowspan="2" 6
C6 = C2 × C3
abeliano
{e, , , C6
,
center
-
S3 = D3
il più piccolo gruppo non abeliano
{e, A3=, S3
, , , A3
center
-
! 7
C7
abeliano, semplice
{e, C7
{e
center
-
! rowspan="5" 8
C8
abeliano
{e, , , C8
center
-
C2 ×C4
abeliano
center
-
C2 × C2 × C2 = D2 × C2
abeliano
center
-
D4
non abeliano
center
-
Gruppo dei quaternioni, Q8 = Dic2
non abeliano; il più piccolo gruppo hamiltoniano
center
-
! rowspan="2" 9
C9
abeliano
center
-
C3 × C3
abeliano
center
-
! rowspan="2" 10
C10 = C2 × C5
abeliano
center
-
D5
non abeliano
center
-
! 11
C11
abeliano, semplice
center
-
! rowspan="5" 12
C12 = C4 × C3
abeliano
center
-
C2 × C6 = C2 × C2 × C3 = D2 × C3
abeliano
center
-
D6 = D3 × C2
non abeliano
center
-
A4
non abeliano
center
-
Dic3 = prodotto semidiretto di C3 e C4, dove C4 agisce su C3 per inversione
non abeliano
center
-
! 13
C13
abeliano, semplice
center
-
! rowspan="2" 14
C14 = C2 × C7
abeliano
center
-
D7
non abeliano
center
-
! 15
C15 = C3 × C5
abeliano
center
-
! rowspan="14" 16
C16
abeliano
center
-
C2 × C2 × C2 × C2
abeliano
center
-
C2 × C2 × C4
abeliano
center
-
C2 × C8
abeliano
center
-
C4 × C4
abeliano
center
-
D8
non abeliano
center
-
Gruppo generalizzato dei quaternioni, Q16 = Dic4
non abeliano
center
-
C2 × D4
non abeliano
center
-
C2 × Q8
non abeliano
center
-
Gruppo quasidiedrale di ordine 16
non abeliano
center
-
Gruppo modulare di ordine 16
non abeliano
center
-
Prodotto semidiretto di C4 e C4 dove un fattore agisce sull'altro per inversione
non abeliano
center
-
Gruppo generato dalle matrici di Pauli
non abeliano
center
-
G4,4
non abeliano
center
-
! 17
C17
abeliano, semplice
-
! rowspan="5" 18
C18
abeliano
-
D9
non abeliano
-
C3 × S3
non abeliano
-
C6 × C3
abeliano
-
Prodotto semidiretto di C3 × C3 e
C2
non abeliano

Biblioteca dei gruppi piccoli

Il sistema di algebra computazionale GAP contiene la "Small Groups library" che consente di accedere alla descrizione dei gruppi di ordine "piccolo". Anche in questa biblioteca i gruppi sono presentati a meno di isomorfismo, cioè attraverso rappresentanti delle classi di isomorfismo.
Attualmente la biblioteca contiene i seguenti gruppi:
  • quelli di ordine non superiore a 2000, eccettuati quelli di ordine 1024 (si tratta di ben 423 164 062 gruppi);
  • i gruppi di ordine 55 e 74 (92 gruppi);
  • i gruppi di ordine qn·p dove qn è multiplo di 28, 36, 55 o 74 e dove p è un primo arbitrario diverso da q;
  • quelli il cui ordine si fattorizza in al più 3 fattori primi.
Essa contiene descrizioni esplicite dei gruppi presentati in un formato leggibile da computer.
Questa biblioteca è stata costruita e organizzata da Hans Ulrich Besche, Bettina Eick ed Eamonn O'Brien.Il sito della Small Groups library".

Note


Bibliografia


  • Categoria:Teoria dei gruppi
  •  
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