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Gruppo profinito

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  In matematica, un gruppo profinito è un gruppo topologico che si può costruire con un certo processo di limite a partire da gruppi finiti. Molti teoremi validi per i gruppi finiti, quali i teoremi di Sylow, ammettono generalizzazioni naturali ai gruppi profiniti.
Formalmente, un gruppo profinito si può definire come un gruppo topologico T2, compatto con un sistema di intorni di 1 fatta di sottogruppi normali.

Proprietà

Si può dimostrare che un gruppo profinito è limite proiettivo della famiglia dei suoi sottogruppi normali. È anche vero, viceversa, che il limite proiettivo di una famiglia di gruppi finiti dotati della topologia discreta è un gruppo profinito. Da quest'ultimo fatto deriva peraltro il nome profinito.
I gruppi profiniti estendono, in un certo senso, delle proprietà dei gruppi finiti. Tra le più importanti, la proprietà di essere gruppo di Galois di un'estensione di campi. Infatti, come i gruppi finiti sono i gruppi di Galois finiti, i gruppi profiniti sono i gruppi di Galois infiniti con la topologia di Krull.

Alcuni esempi


Un classico esempio di gruppo profinito è \hat{\mathbb{Z, il limite proiettivo della famiglia \lbrace \Z/n\Z\rbrace_{n\in\N dotata delle mappe \rho_{n,m\colon \Z/m\Z \to \Z/n\Z tali che, se nm, \rho_{n,m(a) = a_n dove le quadre indicano la classe di resto di a modulo n. Si mostra che \hat{\Z è il gruppo di Galois assoluto di \mathbb{F_p campo finito con p elementi.
Un'altra classe di esempi è costituita dagli interi p-adici, comunemente indicati con \Z_p.

Bibliografia

  • Collegamenti esterni

  • V.L. Popov, Profinite group in Encyclopaedia of Mathematics

  • Categoria:Teoria dei gruppi
     
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