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Equazione integrale di Fredholm

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  In matematica, l'equazione integrale di Fredholm è un'equazione integrale la cui soluzione è alla base della teoria di Fredholm, che studia gli operatori di Fredholm e i nuclei di Fredholm.

Equazione del primo tipo

Un'equazione di Fredholm non omogenea del primo tipo ha la forma:
g(t)=\int_a^b K(t,s)f(s)\,\mathrm{ds
e la teoria di Fredholm studia come trovare la funzione f(s) a partire dal nucleo integrale K(t,s) e dalla funzione g(t). Le equazioni integrali di Fredholm sono caratterizzate dal fatto di avere estremi di integrazione costanti (a differenza dell'equazione integrale di Volterra, ad esempio).
Nel caso in cui K(t,s)=K(t-s) e gli estremi di integrazione sono \pm \infty, il membro alla destra può essere scritto come la convoluzione di K e f, in modo che la soluzione è data da:
f(t) = \mathcal{F_\omega^{-1\left
{\mathcal{F_tg(t)(\omega)\over
\mathcal{F_tK(t)(\omega)
\right=\int_{-\infty^\infty {\mathcal{F_tg(t)(\omega)\over
\mathcal{F_tK(t)(\omega)e^{2\pi i \omega t \mathrm{d\omega
dove \mathcal{F_t e \mathcal{F_\omega^{-1 sono rispettivamente la trasformata di Fourier e la sua antitrasformata.

Equazione del secondo tipo

Un'equazione di Fredholm non omogenea del secondo tipo ha la forma:
\phi(t)= f(t) + \lambda \int_a^bK(t,s)\phi(s)\,\mathrm{ds
Dato un nucleo K(t,s) e una funzione f(t), solitamente il problema è trovare \phi(t), spesso tramite l'uso del formalismo del risolvente.

Bibliografia

  • A.D. Polyanin and A.V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
  • F. J. Simons, M. A. Wieczorek and F. A. Dahlen. Spatiospectral concentration on a sphere. SIAM Review, 2006,
  • D. Slepian, "Some comments on Fourier Analysis, uncertainty and modeling", SIAM Review, 1983, Vol. 25, No. 3, 379-393.

Voci correlate

  • Alternativa di Fredholm
  • Determinante di Fredholm
  • Equazione differenziale lineare
  • Equazione integrale di Volterra
  • Funzione di Green
  • Nucleo di Fredholm
  • Operatore compatto
  • Operatore di Fredholm
  • Spettro (matematica)
  • Teoria di Fredholm
  • Teoremi di Fredholm

Collegamenti esterni

  • Integral Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Categoria:Teoria di Fredholm
 
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